2.4.1 · Множественные представления комплексных чисел

Комплексное число в двух системах координат

Прямоугольное содержимое упрощает сложение, полярное упрощает умножение, а селекторы с метками дают клиентскому коду одно абстрактное число.

Вопрос для размышления

Как единый интерфейс комплексных чисел может одновременно сохранять преимущества прямоугольного и полярного представлений?

Создание прямоугольного содержимого из вещественной и мнимой частей
Создание полярного содержимого из модуля и угла
Диспетчеризация общих селекторов через метку представления
Использование прямоугольных координат для сложения и полярных координат для умножения
Сравнение неточных тригонометрических результатов с явным допуском

Прямоугольный объект хранит x и y, поэтому селекторы real-part и imag-part работают напрямую, тогда как модуль и угол вычисляются. Полярный объект хранит r и a, поэтому модуль и угол читаются напрямую, тогда как real-part и imag-part вычисляются. Внешняя метка относится к деталям представления и не является частью абстрактного комплексного значения, видимого клиентскому коду.

Первая программа создает 3 + 4i в обеих формах и опрашивает их через те же четыре селектора. Предикат close? фиксирует, что неточный тригонометрический путь совпадает в пределах объявленного допуска. Вторая программа складывает значения через вещественную и мнимую части и явно возвращает прямоугольный объект, а умножение объединяет модули и углы и возвращает полярный объект. Обобщенные селекторы проверяют абстрактные результаты, не раскрывая вызывающему коду внутреннее содержимое объектов.

Код SICP1,914 из 1,048,576 байт UTF-8

(begin
  (define (square x) (* x x))
  (define (close? left right)
    (< (abs (- left right)) 0.000001))
  (define (attach-tag type contents) (cons type contents))
  (define (type-tag object) (car object))
  (define (contents object) (cdr object))
  (define (make-from-real-imag x y)
    (attach-tag 'rectangular (list x y)))
  (define (make-from-mag-ang magnitude angle)
    (attach-tag 'polar (list magnitude angle)))
  (define (rectangular-real z) (car z))
  (define (rectangular-imag z) (cadr z))
  (define (rectangular-magnitude z)
    (sqrt (+ (square (rectangular-real z))
             (square (rectangular-imag z)))))
  (define (rectangular-angle z)
    (atan (rectangular-imag z) (rectangular-real z)))
  (define (polar-magnitude z) (car z))
  (define (polar-angle z) (cadr z))
  (define (polar-real z)
    (* (polar-magnitude z) (cos (polar-angle z))))
  (define (polar-imag z)
    (* (polar-magnitude z) (sin (polar-angle z))))
  (define (select object rectangular-selector polar-selector)
    (cond ((eq? (type-tag object) 'rectangular)
           (rectangular-selector (contents object)))
          ((eq? (type-tag object) 'polar)
           (polar-selector (contents object)))
          (else (error "unknown complex representation"))))
  (define (real-part z) (select z rectangular-real polar-real))
  (define (imag-part z) (select z rectangular-imag polar-imag))
  (define (magnitude z)
    (select z rectangular-magnitude polar-magnitude))
  (define (angle z) (select z rectangular-angle polar-angle))
  (define rectangular (make-from-real-imag 3.0 4.0))
  (define polar (make-from-mag-ang 5.0 (atan 4.0 3.0)))
  (list (type-tag rectangular)
        (type-tag polar)
        (close? (real-part rectangular) (real-part polar))
        (close? (imag-part rectangular) (imag-part polar))
        (close? (magnitude rectangular) (magnitude polar))
        (close? (angle rectangular) (angle polar))))

(begin
  (define (square x) (* x x))
  (define (close? left right)
    (< (abs (- left right)) 0.000001))
  (define (attach-tag type contents) (cons type contents))
  (define (type-tag object) (car object))
  (define (contents object) (cdr object))
  (define (make-from-real-imag x y)
    (attach-tag 'rectangular (list x y)))
  (define (make-from-mag-ang magnitude angle)
    (attach-tag 'polar (list magnitude angle)))
  (define (rectangular-real z) (car z))
  (define (rectangular-imag z) (cadr z))
  (define (rectangular-magnitude z)
    (sqrt (+ (square (rectangular-real z))
             (square (rectangular-imag z)))))
  (define (rectangular-angle z)
    (atan (rectangular-imag z) (rectangular-real z)))
  (define (polar-magnitude z) (car z))
  (define (polar-angle z) (cadr z))
  (define (polar-real z)
    (* (polar-magnitude z) (cos (polar-angle z))))
  (define (polar-imag z)
    (* (polar-magnitude z) (sin (polar-angle z))))
  (define (select object rectangular-selector polar-selector)
    (cond ((eq? (type-tag object) 'rectangular)
           (rectangular-selector (contents object)))
          ((eq? (type-tag object) 'polar)
           (polar-selector (contents object)))
          (else (error "unknown complex representation"))))
  (define (real-part z) (select z rectangular-real polar-real))
  (define (imag-part z) (select z rectangular-imag polar-imag))
  (define (magnitude z)
    (select z rectangular-magnitude polar-magnitude))
  (define (angle z) (select z rectangular-angle polar-angle))
  (define rectangular (make-from-real-imag 3.0 4.0))
  (define polar (make-from-mag-ang 5.0 (atan 4.0 3.0)))
  (list (type-tag rectangular)
        (type-tag polar)
        (close? (real-part rectangular) (real-part polar))
        (close? (imag-part rectangular) (imag-part polar))
        (close? (magnitude rectangular) (magnitude polar))
        (close? (angle rectangular) (angle polar))))

Примеры

Результат—

Вывод: —
Значение: —
Диагностика: —

Трасса выполнения0 / 0 событий

Ожидаемый результат

Первая программа возвращает (rectangular polar #t #t #t #t). Вторая программа возвращает (rectangular polar #t #t #t #t #t #t).

На что обратить внимание в трассе

Проследите за внешней меткой типа перед тем, как каждый селектор выберет прямоугольное или полярное содержимое. В первом запуске сравните прямые селекторы с путем через процедуры sqrt, atan, sin и cos. Во втором запуске обратите внимание, что сложение создает прямоугольное содержимое, а умножение создает полярное содержимое, после чего проследите за проверкой обоих результатов теми же обобщенными селекторами. Допуск определяет равенство для этих конечных неточных вычислений.

Попробуйте сами

Измените программу и сравните результат.

Представьте -3 + 4i в обеих формах, используя модуль 5 и угол (atan 4.0 -3.0). Повторно используйте close? для проверки всех четырех селекторов, затем объясните, почему вызов atan с двумя аргументами важен за пределами первого квадранта.

Показать подсказку

Знаки обеих координат определяют квадрант. Вызов atan с одним аргументом от деления y на x теряет это различие.

Завершить этот урок

В этой главе пройдено 0 из 20 уроков0%